Determine n if

Solution:

(i)

$\frac{{ }^{2 n} \mathrm{C}_{3}}{{ }^{n} \mathrm{C}_{3}}=\frac{12}{1}$

$\Rightarrow \frac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !} \times \frac{3 !(n-3) !}{n !}=\frac{12}{1}$

$\Rightarrow \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !} \times \frac{(n-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) !}=12$

$\Rightarrow \frac{2(2 n-1)(2 n-2)}{(n-1)(n-2)}=12$

$\Rightarrow \frac{4(2 n-1)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=12$

$\Rightarrow \frac{(2 n-1)}{(n-2)}=3$

$\Rightarrow 2 n-1=3(n-2)$

$\Rightarrow 2 n-1=3 n-6$

$\Rightarrow 3 n-2 n=-1+6$

$\Rightarrow n=5$

(ii)

$\frac{{ }^{2 n} \mathrm{C}_{3}}{{ }^{n} \mathrm{C}_{3}}=\frac{11}{1}$

$\Rightarrow \frac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !} \times \frac{3 !(n-3) !}{n !}=11$

$\Rightarrow \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{(2 n-3) !} \times \frac{(n-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) !}=11$

$\Rightarrow \frac{2(2 n-1)(2 n-2)}{(n-1)(n-2)}=11$

$\Rightarrow \frac{4(2 n-1)(n-1)}{(n-1)(n-2)}=11$

$\Rightarrow \frac{4(2 n-1)}{n-2}=11$

$\Rightarrow 4(2 n-1)=11(n-2)$

$\Rightarrow 8 n-4=11 n-22$

$\Rightarrow 1 \ln -8 n=-4+22$

$\Rightarrow 3 n=18$

 

$\Rightarrow n=6$