Simplify the product

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32}=(2)^{\frac{1}{3}} \cdot(2)^{\frac{1}{4}} \cdot(32)^{\frac{1}{12}}$

$=(2)^{\frac{1}{3}} \cdot(2)^{\frac{1}{4}} \cdot\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{12}}$

$=(2)^{\frac{1}{3}} \cdot(2)^{\frac{1}{4}} \cdot(2)^{\frac{5}{12}}$

$=(2)^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{12}}$

$=(2)^{\frac{4+3+5}{12}}$

$=(2)^{\frac{12}{12}}$

$=(2)^{1}$

$=2$