The least value of |z| where z is complex number

$\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|| z|+1|} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i|$

$\Rightarrow 2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{(|z|+1)}} \geq \log _{\sqrt{2}}(16)$

$\Rightarrow 2^{\frac{(|z|+3)(\mid z-1)}{(|z|+1)}} \geq 2^{3}$

$\Rightarrow \frac{(|z|+3)(|z|-1)}{(|z|+1)} \geq 3$

$\Rightarrow(|z|+3)(|z|-1) \geq 3(|z|+1)$

$|z|^{2}+2|z|-3 \geq 3|z|+3$

$\Rightarrow|z|^{2}+|z|-6 \geq 0$

$\Rightarrow(|z|-3)(|z|+2) \geq 0 \Rightarrow|z|-3 \geq 0$

$\Rightarrow|z| \geq 3 \quad \Rightarrow|z|_{\min }=3$