Differentiate w.r.t x:
$\frac{e^{2 x}+e^{-2 x}}{e^{2 x}-e^{-2 x}}$
Let $y=\frac{e^{2 x}+e^{-2 x}}{e^{2 x}-e^{-2 x}}, u=e^{2 x}+e^{-2 x}, v=e^{2 x}-e^{-2 x}$
Formula :
$\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$
According to the quotient rule of differentiation
If $y=\frac{u}{v}$
$\mathrm{dy} / \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{v} \times \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{u} \times \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}}{\mathrm{v}^{2}}$
$=\frac{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right) \times\left(2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-2 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)-\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right) \times\left(2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+2 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}$
$=\frac{2\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}-2\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}$
$=\frac{2\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}$
$\left(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\right.$
$=\frac{2\left(2 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}\right)\left(-2 \mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}$
$=\frac{-8}{\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-2 \mathrm{x}}\right)^{2}}$
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