Prove the following

Solution:

$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(2+3+6+11+18+27+\ldots \ldots+\mathrm{n}-$ terms $) \log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}$

Let $\mathrm{S}_{1}=2+3+6+11+18+27+\ldots+\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$

$\mathrm{S}_{1}=2+3+6+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots+\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$

$\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=2+1+3+5+\ldots \ldots+\mathrm{n}$ terms

$\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=2+(\mathrm{n}-1)^{2}$

$\mathrm{S}_{1}=\Sigma \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{n}+\frac{(\mathrm{n}-1) \mathrm{n}(2 \mathrm{n}-1)}{6}$

$\Rightarrow S_{n}(x)=\left(2 n+\frac{n(n-1)(2 n-1)}{6}\right) \log _{a} x$

$\mathrm{S}_{24}(\mathrm{x})=1093 \quad$ (Given )

$\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}\left(48+\frac{23.24 .47}{6}\right)=1093$

$\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}=\frac{1}{4} \quad \ldots(1)$

$\mathrm{S}_{12}(2 \mathrm{x})=265$

$\mathrm{S}_{12}(2 \mathrm{x})=265$

$\log _{a} 2 x=\frac{1}{2} \ldots$ (2)

$(2)-(1)$

$\log _{a} 2 x-\log _{a} x=\frac{1}{4}$

$\log _{a} 2=\frac{1}{4} \Rightarrow a=16$