Question:
Factorize:
$a^{3}(b-c)^{3}+b^{3}(c-a)^{3}+c^{3}(a-b)^{3}$
Solution:
We have:
$a^{3}(b-c)^{3}+b^{3}(c-a)^{3}+c^{3}(a-b)^{3}=[a(b-c)]^{3}+[b(c-a)]^{3}+[c(a-b)]^{3}$
Put $a(b-c)=x$
$b(c-a)=y$
$c(a-b)=z$
Here,
$x+y+z=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)$
$=a b-a c+b c-a b+a c-b c$
$=0$
Thus, we have :
$a^{3}(b-c)^{3}+b^{3}(c-a)^{3}+c^{3}(a-b)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}$
$=3 x y z \quad\left[\right.$ When $\left.x+y+z=0, x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z .\right]$
$=3 a(b-c) b(c-a) c(a-b)$
$=3 a b c(a-b)(b-c)(c-a)$